Relation angle vilebrequin/hauteur de piston

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cortex73
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Relation angle vilebrequin/hauteur de piston

Message par cortex73 »

Salut à tous,

Suite à ce post je me suis dit que redémontrer la formule servant à lier l'angle du vilo à la hauteur du piston pourrait en aider certain. C'est toujours bien de voir la démonstration d'une formule qui peut sembler "parachuter" de nulle part.

Vous allez voir qu'il n'y a rien de véritablement compliqué et que les seules relations nécessaires sont celles de trigonométrie que l'on voit en collège et du bon sens. :wink:

Posons la base:

Image


Voilà le schéma d’un système bielle manivelle, on remarque que lorsque le piston est au Point Mort Haut (PMH), les points O, M et I sont alignés par rapport à l’axe du cylindre. Il n’y a donc pas de « désaxage » du cylindre dans cette démonstration. (Comme en possède un moteur de 103)

*La hauteur X0 représente le PMH.

*R est la demi-course du vilebrequin (distance entre l’axe du vilo et l’axe du maneton)

*L est la longueur de la bielle.

*β est l’angle que forme la bielle avec l’axe du cylindre.

Le but de l’exercice est de trouver le lien entre l’angle α (c'est-à-dire l’angle du vilebrequin) et la hauteur X. Pour l’instant on suppose que le piston n’a pas de hauteur c'est-à-dire que l’axe du pied de bielle correspond au sommet de la calotte du piston. Ce sera une simple valeur à ajouter à la fin de la démonstration si l’on veut faire une application concrète.

X=X0+(QO-IO)

X= X0+[(L+R)-(IP+PO) ]

X= X0+L+R-(cos β . L + cos α . R) (formules de trigonométrie)

Dans cette dernière expression il ne nous manque que β, le reste étant connu.

cos² β = 1- sin² β (car cos²+sin²=1)
cos² β = 1- (MP/L)² (là encore une simple relation de trigo sur le triangle MPI)
cos² β = 1- [(sin α * R)²/L²] (trigo toujours pour trouver MP)

D’où cos β = [1-(R/L)² * sin² α][ex]1/2[/ex] (le puissance ½ équivaut à la racine carré car il n’y a pas le symbole de la racine dispo !)

Au final on obtient cette jolie formule :

X = X0 + L (1-[1-(R/L)² * sin² α][ex]1/2[/ex] ) + R ( 1- cos α)

Et là bon nombre d’entre vous doivent se dire, mince les trucs de maths qu’on essayait de nous apprendre à l'école ça peut servir pour nos moteurs de mob. Et oui !
:) :o


Concrètement, on veut par exemple savoir la hauteur entre le bord du cylindre et le début d'une lumière d'échappement.
Cela implique que le bord de la calotte du piston affleure le bord supérieur du cylindre sinon il faudra prendre comme point de départ un repère perso. :wink:


Imaginons un diagramme d'échappement de 190°. Entre le début d'ouverture de la lumière par le piston et la fermeture de cette dernière le vilebrequin aura donc effectué une rotation de 190°.
Il "reste" donc 360-190=170° pour terminer un cycle. Du PMH au début d'ouverture de la lumière le vilebrequin aura donc effectué 170/2=85°. C'est le demi angle complémentaire.

---> Attention, ceci n'est valable que pour une configuration où l'axe du cylindre et l'axe vilo/piston sont confondus!
Dans le cas contraire les phases de montée et descente du piston ne sont pas symétriques et on ne peut pas utiliser ce demi angle complémentaire.


On peut donc utiliser la formule trouvée précédemment pour peu que l'on connaisse la longueur de bielle L et la demi course R. α étant donc le demi angle complémentaire sus-mentionné. (dans ce cas on peut dire que X0 = 0)


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Il y a un autre intérêt à cette formule, elle permet de visualiser graphiquement les vitesses instantanées du piston ainsi que son accélération pendant un tour de vilebrequin.
Je passe ici le détail du calcul qui est moins évident mais la vitesse est trouvée en dérivant la formule de la position par rapport au temps, l'accélération est elle calculée en dérivant de nouveau la formule de la vitesse par rapport au temps. (Là par contre on ne voit pas ça au collège!)

Pour illustrer mes propos voici un exemple d'un moteur de 103 supposé sans désaxage tournant à 12000 trs/min.

Tout d'abord la position du piston selon l'angle, valeur ne dépendant pas de la vitesse de rotation du moteur. Le 0 équivaut au PMH, la valeur max étant 39,1mm soit la valeur de la course d'un 103.

Image

On voit bien que le déplacement du piston n'est pas linéaire par rapport à l'angle du vilebrequin.

La vitesse instantanée du piston:

Image

Ici la valeur max est de 25,4 m/s et la vitesse moyenne du piston sur un tour est 15,6m/s. (ce qui fait respectivement 91km/h et 56 km/h)

Et enfin l'accélération:

Image

Là les valeurs sont un peu moins "imaginables", la valeur maximale étant de 38814m/s².

La suite bientôt...
Dernière modification par cortex73 le sam. 09 oct. 2010 - 23:41, modifié 4 fois.
gegeochaco
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Message par gegeochaco »

j'ai poster une petite demonstration que j'ai fait sur papier cortex dans le poste d'ou par l'idée. j'utilise pas les même angle que toi. j'essaye de posté ça en claire demain si tu veut parce que je doute que beaucoup de monde puisse me relire, en plus c'est brouillon.

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